O infinito cabe em uma ideia?

Imagine um hotel com quartos numerados 1, 2, 3 e assim por diante, sem um último quarto. Todos estão ocupados. Ainda assim, uma nova pessoa chega. Há como acomodá-la?

Nesse hotel imaginário, basta pedir que cada hóspede do quarto n vá para o quarto n + 1. O quarto 1 fica livre. Nenhum hóspede perde sua acomodação, embora todos os quartos já estivessem ocupados.

Um experimento, não um edifício

O hotel de Hilbert é um experimento mental. Ele ajuda a perceber que conjuntos infinitos não se comportam exatamente como coleções finitas. Não descreve um hotel que poderíamos construir: descreve uma relação entre números.

Também podemos acomodar uma quantidade infinita enumerável de novos hóspedes. Basta mover cada hóspede do quarto n para o quarto 2n. Os quartos pares ficam ocupados pelos hóspedes antigos, e os ímpares ficam disponíveis para os novos.

Comparar sem terminar de contar

Podemos associar cada número natural positivo a um número par positivo: 1 com 2, 2 com 4, 3 com 6. Essa correspondência mostra que os dois conjuntos têm a mesma cardinalidade, embora os pares estejam contidos nos naturais.

Isso não significa que todos os infinitos sejam iguais. Há conjuntos infinitos que não podem ser enumerados dessa maneira, como o conjunto dos números reais. O infinito abre novas perguntas justamente quando acreditávamos ter entendido o que significa contar.

Para continuar pensando

Se chegassem três novos hóspedes, como você reorganizaria os quartos? E se fossem dez? Tente explicar sua regra usando n. A matemática começa a ficar interessante quando uma resposta se transforma em uma nova pergunta.